MATEMATYKA – SEMESTR I

TEMATY ZAJĘĆ

1/2 Funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

3 Związki między funkcjami trygonometrycznymi kata ostrego

4          Działania na zbiorach
5/6       Podzbiory zbioru liczb rzeczywistych. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych.
7/8       Potęgowanie i pierwiastkowanie

9/10 Równania i nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą

11/14 Odległość punktów na osi i wartość bezwzględna

..........................................................................................................................

Podręczniki :

1. A. Cewe, M. Krawczyk, M. Kruk – Matematyka w otaczającym nas świecie .CZ. I.
Podręcznik dla absolwentów ZSZ. Kształcenie w zakresie podstawowym

2. A. Cewe, H. Nahorska, I. Pancer – Tablice matematyczne

3. A. Cewe, H. Nahorska – Matura w nowej formule. Zbiór zadań z zakresu kształcenia podstawowego i rozszerzonego.

4. D. Masłowska, T. Masłowski _ Zestaw testów dla uczniów liceów. Poziom podstawowy.

...................................................................................................................................................

TEMAT 1-2 FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO.

1) Twierdzenie Pitagorasa
Jeżeli a, b są długościami przyprostokątnych trójkąta prostokątnego oraz c jest długością jego przeciwprostokątnej, to kwadrat długości przeciwprostokątnej równa się sumie kwadratów długości przyprostokątnych.
a + b + 90° = 180° Û a + b = 90°

2) Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym.

a) Sinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej temu kątowi do długości przeciwprostokątnej:

b) Cosinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przyległej do tego kąta do długości przeciwprostokątnej:

c) Tangensem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej temu kątowi do drugiej przyprostokątnej:

d) Cotangensem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przy tym kącie do drugiej przyprostokątnej:

3) Wnioski:

4) Zapisz w najprostszej postaci wyrażenia: a) ctg25°×cos65°, b) tg40°×ctg50°,
c) sin²75°+sin²15°, d) tg7°×ctg83°×ctg7°×tg83°, e) sin²20°+sin²70°

5) Zbuduj trójkąt prostokątny o takim kącie ostrym a, że:
a) tga=2,

6) Zbuduj kąt ostry α, wiedząc, że: a) b) , c) , d)

7) Funkcje trygonometryczne kątów 30°, 45°, 60°.

a) funkcje kąta 45°
trójkąt prostokątny równoramienny ma kąty ostre równe, więc a+a=90°, czyli a=45°
z tw. Pitagorasa wynika, że a²+a²=c²Û

b) funkcje kąta 60°
trójkąt równoboczny ma wszystkie kąty też równe, czyli a=60°
h – wysokość w trójkącie równobocznym

c)         funkcje kata 30°   (z punktu 3 wynika):
sin30°=cos(90°-30°)=cos60°=,     cos30°=sin(90°–30°)=sin60°=,
tg30°=ctg(90°–30°)=ctg60°=,     ctg30=tg(90°–30°)=tg60°=

_{Funkcja\| \}^a	30°	45°	60°
sina
cosa
tga		1
ctga		1

6) Tablice wartości funkcji trygonometrycznych
1° - 1 stopień, 1¢- 1 minuta, 1² - 1 sekunda , 1° = 60¢ , 1¢ = 60²

a) Odczytaj z tablic wartości funkcji : sin3°24¢ , cos6°, tg12°18¢, ctg32°16¢, sin45°32¢, cos54°26¢

b) Mając daną wartość funkcji trygonometrycznej kąta a oblicz przybliżoną miarę kąta a:
sina=0,1874, cosa=0,9608, sina=0,8499, cosa=0,5402, tga=1,9970, ctga=2,5129

c) Jeżeli chcesz się posługiwać kalkulatorem musisz zapisać miarę kąta w postaci ułamka
dziesiętnego np. 42°12¢==42,2,

7) Oblicz wartości wyrażeń:
a) 2cos45°+tg²60°, b) tg30°ctg60°–cos²45°,
c) tg60°+4sin60°-2cos30°+ctg45°, d) 2sin60° – 4cos60° + tg60°

8) Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych a i b, przeciwprostokątnej c, kącie ostrym a
Uzupełnij tabelę:

a	b	c	sina	cosa	tga	ctga
6	8	10
4			0,5
4
3		5		0,8

9) Oblicz długość przeciwprostokątnej, wiedząc, że cos = 0,84.
Wynik podaj z dokładnością do części setnych.

10) Wyznacz wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych trójkąta prostokątnego, w którym jedna przyprostokątna jest dwa razy dłuższa od drugiej przyprostokątnej.

11) Na podstawie rysunku oblicz wartość wyrażenia .

12) Wiadomo, że i jest kątem ostrym. Ile jest równy kąt ?

A.27⁰

B.153⁰

C.63⁰

D. 33⁰

13) Między godziną 7¹⁰ a 8⁵⁰ wskazówka minutowa zegara obróciła się o kąt, którego miara wynosi:

A. -240°

B. -180°

C. -600°

D. 600°

14) Wartość wyrażenia sin 30° + sin 60° wynosi:

TEMAT 3 ZWIĄZKI MIĘDZY FUNKCJAMI TRYGONOMETRYCZNYMI KĄTA OSTREGO

1. Jeżeli a jest kątem ostrym w trójkącie prostokątnym, to łatwo udowodnić, że prawdziwe są równości:

2. Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kata ostrego a, jeżeli:
a)

3. Przypomnienie wzorów na obliczanie pola trójkąta:

4. Rozwiązywanie trójkątów prostokątnych
Rozwiązać trójkąt prostokątny to znaczy obliczyć długości wszystkich jego boków i miary wszystkich kątów. Uzupełnij poniższą tabelę, jeżeli a, b to przyprostokątne trójkąta, c – przeciwprostokątna,
- kąty ostre, P – pole trójkąta

a	b	c	a	b	P
18	23
		34	42°
11		21
30			30°
		28	30°
	2,4		60°
		2

5. Dany jest równoległobok o bokach a=12cm, b=8cm oraz kącie ostrym a=60°. Oblicz pole i obwód równoległoboku.

6. Dany jest prostokąt o przekątnej długości d=14cm i kącie między przekątnymi b=48°.Oblicz pole i obwód prostokąta.

7. W trapezie równoramiennym dane są długości podstaw a=10cm, b=6cm i kącie ostrym a=60°. Oblicz pole trapezu.

8. Wiedząc, że x jest kątem ostrym, rozwiąż równanie: a) 2sin x = 1 b) cos x = 1 c) tg x= 3

9. Kolejka prowadząca na szczyt Gubałówki pokonuje na drodze długości 1340 m różnicę wzniesień ok. 300m. Zakładając, że kolejka porusza się wzdłuż linii prostej oblicz, pod jakim kątem wznoszą się tory kolejki.

10. Sinus kąta ostrego jest równy . Wynika stąd, że

A. cos =

B. tg = 0,75

C. tg = 1,25

D. cos =

11. . Sprawdź, czy podana równość jest tożsamością.

a) (1+cos)(1-cos) = sin²

b) tg +1 = 2 (sin² +cos²) c)

12. Czy istnieje trójkąt prostokątny o kątach ostrych i spełniający warunki?

13. a) i b) i

14. . Dany jest sin = . Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta ostrego.

15. Dany jest tg = 4. Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta ostrego .

………………………………………………………………………………………………………

TEMAT 4 DZIAŁANIA NA ZBIORACH

1.      Zbiór i element   to pojęcia pierwotne tzn. takie, których nie definiujemy.
Symbole zbiorów    A, B, C, .... Symbole elementów   a, b, c, ...
aÎ A   ,    a należy do A           bÏ A     , b nie należy do A

Określanie zbiorów
a) Wymienienie jego elementów np. A = {1, 3, 5, 7}
b) Podanie własności, którą muszą spełniać elementy tego zbioru i tylko one
np. A ={x: xÎN x < 4} czytamy : A jest zbiorem tych wszystkich x, które należą do zbioru liczb naturalnych i są mniejsze niż 4}
Klasyfikacja zbiorów ze względu na ilość elementów:
a) zbiór pusty Æ - to taki, który nie ma elementów,
b) zbiór skończony – ma określoną ilość elementów,
c) zbiór nieskończony – ma nieskończenie wiele elementów
Relacje między zbiorami
a) Zbiór A zawiera się w zbiorze B ( zapisujemy AÌ B ), jeżeli każdy element zbioru A jest elementem zbioru B. np. A = { 2,4 } , B = { 1, 2, 3, 4 } czyli A Ì B.
AÌ B Û (x Î A Þ xÎ B)
b) Zbiór A jest równy zbiorowi B ( A = B ) , jeżeli każdy element zbioru A
jest elementem zbioru B i na odwrót. A = B Û ( xÎA Û xÎ B )
c) zbiory rozłączne , to takie, które nie mają wspólnych elementów A Ç B = Æ .
Działania na zbiorach
a) suma zbiorów A È B
Sumą ( połączeniem ) zbiorów A i B nazywamy zbiór tych elementów, z których każdy
należy do co najmniej jednego ze zbiorów A lub B.       xÎ AÈB Û   xÎA xÎB
b) iloczyn zbiorów AÇB
Iloczynem ( częścią wspólną ) zbiorów A i B nazywamy zbiór tych elementów, z których
każdy należy do A i do B.              xÎ AÇB Û xÎA xÎB
c) różnica zbiorów A \ B
Różnicą zbiorów A i B nazywamy zbiór tych elementów, z których każdy należy do A
i nie należy do B.             x Î A \ B Û xÎ A xÏB
d) dopełnienie zbioru A¢
Dopełnieniem zbioru A do przestrzeni X nazywamy taki zbiór A¢, że A¢ = X \ A
Wyznacz elementy zbiorów A, B, A¢ , B¢, AÈB, AÇB, A\ B, B\A jeżeli:
a)    A = {2, 3, 4, 7, 8 },      B = {x: xÎN i x jest liczbą pierwszą i x < 20} , X = N
b)    A = {x: xÎ N i x < 3 }   B = {x : xÎN i x < 6 i x parzyste } ,
c)    A = {x: xÎN i x|100 },     B = {x: xÎN i x < 15 i x nieparzyste } ,
d)    A = {x: xÎ N i 2x-3 < 7 }   , B = {x: xÎN i x² – 9 = 0 }
e)     A = {x: xÎN i x|72 },            B = {x: x Î N i x parzyste i x £ 8 }.

.....................................................................................................................................................

TEMAT 5/6 PODZBIORY ZBIORU LICZB RZECZYWISTYCH.

DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH.

Podzbiory zbioru liczb rzeczywistych:
a) N - zbiór liczb naturalnych , N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }
Liczbę naturalną n > 1 nazywamy liczbą pierwszą , jeżeli ma dwa dzielniki 1 i n .
Liczbę naturalną n > 1 , która nie jest pierwsza nazywamy złożoną .
Liczby 0 i 1 nie są ani pierwsze ani złożone. Każdą liczbę złożoną można przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych . Nazywamy to rozkładem liczby naturalnej na czynniki pierwsze. Przykład :
204 = 2 × 2 × 3 × 17 , 600 = 2 × 2 × 2 × 3 ×5 × 5

b) C – zbiór liczb całkowitych C = {... –3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }, C = C ⁺ È C ^-È { 0 }
C ^- - zbiór liczb całkowitych ujemnych , C ^- = {... –3, -2, -1},
C ⁺- zbiór liczb całkowitych dodatnich , C⁺ = {1, 2, 3, ...}.
Liczbę b nazywamy dzielnikiem liczby a ( zapisujemy b | a ), jeżeli istnieje liczba całkowita k taka, że a = b× k. Liczby całkowite podzielne przez 2 nazywamy parzystymi. Są one postaci 2k, kÎC. Liczby całkowite niepodzielne przez 2 nazywamy nieparzystymi. Są one postaci 2k + 1. Cechy podzielności pozwalają sprawdzić, czy dana liczba A jest podzielna przez jedną z liczb 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9.

liczba	Cecha podzielności
2	Ostatnia cyfra liczby A to 0, 2, 4, 6, 8
3	Suma cyfr liczby A dzieli się przez 3
4	Liczba utworzona przez dwie ostatnie cyfry liczby A dzieli się przez 4
5	Ostatnia cyfra liczby A to 0 lub 5
6	Liczba A dzieli się przez 2 i 3 .
8	Liczb utworzona przez trzy ostatnie cyfry liczby A dzieli się przez 8
9	Suma cyfr liczby A dzieli się przez 9

c) W- zbiór liczb wymiernych W = {x: }

Liczbę nazywamy wymierną , jeżeli można ją przedstawić w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych p i q, gdzie q ¹ 0. np.
Każda liczba wymierna ma rozwinięcie dziesiętne skończone lub nieskończone okresowe.

d) IW – zbiór liczb niewymiernych .
Liczbę nazywamy niewymierną, jeżeli nie jest wymierna.
Przykłady
Rozwinięcia dziesiętne liczb niewymiernych są nieskończone i nieokresowe.

Gdy chcemy zaokrąglić liczbę dziesiętną, czyli odrzucić pewną liczbę jej końcowych cyfr, to stosujemy następującą regułę zaokrąglania:
Jeżeli pierwsza z odrzuconych cyfr jest 0, 1, 2, 3 lub 4, to ostatnia z zachowanych cyfr pozostaje bez zmian np. .
Jeżeli pierwsza z odrzuconych cyfr to 5, 6, 7, 8, 9 to ostatnią z zachowanych cyfr zwiększamy o 1 np.

Związki między podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych NÌCÌWÌR, IWÌR, WÇIW=Æ , R=R^-ÈR⁺È{0}.
Własności działań w zbiorze liczb rzeczywistych
a) prawo przemienności dodawania a + b = b + a, mnożenia   a × b = b × a,
b) prawo łączności dodawania     a + ( b + c) = (a + b) + c i mnożenia    a × (b × c) = (a × b) × c
c) prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania    (a + b) × c = a × c + b × c,
d) elementy neutralne działań   a + 0 = a,    a × 1 = a

Wykonaj działania i określ do jakiego podzbioru zbioru R należy wynik:
a) , ,

Oblicz: a) ; b)

Rozłóż podane liczby na czynniki pierwsze : 2304, 3420, 9165, 78234, 207, 5415, 8037.
Utwórz liczby:
a) czterocyfrową podzielną przez 3 , jeżeli druga cyfra 3 ,
b) pięciocyfrową o różnych cyfrach podzielną przez 4 ,
c) pięciocyfrową o różnych cyfrach podzielną przez 9, jeżeli ostatnia cyfra 2
Dzielenie liczb naturalnych z resztą:
Jeżeli
c- nazywamy ilorazem liczby a przez liczbę b
r –nazywamy resztą z dzielenia liczby a przez liczbę b
Oblicz reszty z dzielenia: a) 543:9, b) 137:17
zapisz ogólna postać liczby naturalnej n, która przy dzieleniu przez:
a)3 daje resztę 1, b) 5 daje resztę 4 c) 7 daje resztę 4
Zamiana ułamków dziesiętnych na zwykłe
a) zamień ułamki dziesiętne skończone na zwykłe: 0,35,   5,78, 2,34, 0, 025
b)ułamki okresowe zamień na zwykłe: 0,(68), 0,(234),    0,(123), 0,(75), 0,(2457)
przykład    0,(306)        0,(306) = 0,306306306...
czyli    x = 0,,306306306... |× 1000
1000x = 306,306306306...
1000x = 306 + 0,306306306...
1000x = 306 + x
999x = 306 | : 999
x =

......................................................................................................................................................

TEMAT 7/8 POTĘGOWANIE I PIERWIASTKOWANIE

Potęga aⁿ ( a – podstawa potęgi, n – wykładnik potęgi)
a ⁰ = 1, ( a ¹ 0 ) , a ¹ = a, ( a ¹ 0 )

Własności działań na potęgach : aⁿ× a ^m = a ^{n + m} , a ⁿ : a ^m = a ^{n – m} , (a ⁿ )^m = a ⁿ^{× m}

Pierwiastek   stopnia n. Pierwiastkiem stopnia n liczby nieujemnej   a nazywamy taką liczbę nieujemną b, która podniesiona do potęgi n daje a.

Własności działań:
Pierwiastek nieparzystego stopnia z liczby ujemnej. Jeżeli n jest liczbą naturalną nieparzystą, zaś a jest liczba ujemną, to przyjmujemy określenie
np.
Zbadaj, która z dwóch liczb jest większa a czy b
Wykonaj działania i określ do jakiego podzbioru zbioru R należy wynik:
Uwolnij podane ułamki od niewymierności i podaj przybliżoną wartość otrzymanej liczby z dokładnością do 0,01:
Oblicz: a) b) c)

d) e)

Wynik obliczeń to:

Wartość podwojonej różnicy kwadratów liczb i 3 wynosi:

A. 8

B. 16

D. 6

. Podwojony kwadrat sumy liczb i 2 ma wartość:

B.18

C. 14

Iloraz sumy liczb i przez ich różnicę ma wartość:

Oblicz:

a) b) c) d) e) f) g)
h) i) j)

Przedstaw w postaci potęgi o podstawie 2 wyrażenie: .Przyjmując, że zapisz przybliżenie otrzymanej liczby w postaci , gdzie , a k jest liczbą całkowitą.

Liczba jest równa

Porównaj liczby: a) i b) i

_{Liczba x jest
równa 49, gdy}

_{A) B}_{) x = 7-6}_∙₄₉₂_∙_{73 C)
D)}

_{Czwarta część liczby 872
ma wartość:}

_{A. 4108}

_{B. 2214}

_{C. 272}

_{D. 2216}

Sprowadźmy do jednej potęgi wyrażenie:

a) $10 \cdot 2^2 + 2^3 + 2^4$

Rozwiązanie:

$10 \cdot 2^2 + 2^3 + 2^4 = 5 \cdot 2 \cdot 2^2 + 2^3 + 2^4 =$

$= 5 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^3 + 2^4 = (5+1) \cdot 2^3 + 2^4 =$

$= 6 \cdot 2^3 + 2^4 = 3 \cdot 2^4 + 2^4 =$

$= 4 \cdot 2^4 = 2^2 \cdot 2^4 = 2^6$

$5^2\sqrt{125} - 5^3 + \frac{500}{\sqrt{5}-1} + 3 \cdot 5^3 \sqrt{5}$

Rozwiązanie:

$5^2\sqrt{125} - 5^3 + \frac{500}{\sqrt{5}-1} + 3 \cdot 5^3 \sqrt{5} =$

$= 5^2\sqrt{5^3} - 5^3 + \frac{5^3 \cdot 4}{\sqrt{5}-1} + 3 \cdot 5^3 \sqrt{5} =$

$= 5^3\sqrt{5} - 5^3 + \frac{5^3 \cdot 4(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)} + 3 \cdot 5^3 \sqrt{5} =$

$= 5^3\sqrt{5} - 5^3 + \frac{5^3 \cdot 4(\sqrt{5}+1)}{4} + 3 \cdot 5^3 \sqrt{5} =$

$= 5^3\sqrt{5} - 5^3 + 5^3\sqrt{5} + 5^3 + 3 \cdot 5^3 \sqrt{5} =$

$= 2 \cdot 5^3\sqrt{5} + 3 \cdot 5^3 \sqrt{5} = (2 + 3) \cdot 5^3 \sqrt{5} = 5^4 \sqrt{5} = 5^{9 \over 2}$

8) Udowodnijmy równość:

a) $\frac{12}{\sqrt{7}-2} - 4 \sqrt{7} = 8$

$L = \frac{12}{\sqrt{7}-2} - 4 \sqrt{7} = \frac{12 - 4 \sqrt{7}(\sqrt{7} - 2)}{\sqrt{7}-2} = \frac{12 - 28 + 2 \cdot 4\sqrt{7}}{\sqrt{7}-2} =$

$= \frac{8\sqrt{7} - 16}{\sqrt{7}-2} = \frac{8(\sqrt{7} - 2)}{\sqrt{7}-2} = 8$

$P = 8$

czyli $L = P$

b) $\frac{24}{\sqrt{10} - 2} = 4\sqrt{10} + 8$

$L = \frac{24}{\sqrt{10} - 2} = \frac{24(\sqrt{10}+2)}{(\sqrt{10}-2)(\sqrt{10}+2)} = \frac{24(\sqrt{10}+2)}{6} = 4(\sqrt{10}+2) = 4\sqrt{10} + 8$

$P = 4\sqrt{10} + 8$

zatem $L = P$

………………………………………………………………………………………………………………..

TEMAT 9/10 PRZEDZIAŁY LICZBOWE.
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI PIERWSZEGO STOPNIA Z JEDNĄ NIEWIADOMĄ
I ICH UKŁADY

Oś liczbowa – prosta, na której zaznaczono punkt zerowy, zwrot dodatni, jednostkę.
Przedziały liczbowe
a) przedział otwarty o końcach   a i b (a; b), to zbiór liczb rzeczywistych większych niż a i mniejszych   niż   b (a;b)={x: xÎR }
b) przedział domknięty o końcach   a i b , to zbiór liczb rzeczywistych , które nie są mniejsze niż a i nie są większe niż b.
c) przedział lewostronnie domknięty , to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, które nie są mniejsze niż a i mniejsze niż b
d) przedział prawostronnie domknięty , to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, które są większe niż   a i nie są większe niż b
e) przedziały nieograniczone
lewostronnie      , to zbiór liczb rzeczywistych mniejszych niż a
prawostronnie    , to zbiór liczb rzeczywistych większych niż a
Dane są przedziały A i B. Zaznacz na osi oraz wyznacz przedziały A¢, B¢, AÈB, AÇB, A\B, B\A
a)    A = ( - 3; 4ñ,     B = (- 1; 8) ,    b)   A = á-3 ; 4ñ,   B = (- ¥ ; 1),   c) A = á - 3; - 1 ñ , B = (4 ; 8),
d)   A = (- ¥ ; 4) , B = ( - 1; ¥ ) ,   e) A = á- 1; 3) ,   B = á3; 5) ,   f) A = ( -2; 1) ,   B = (1; 4),
g)    A = á- 3; 2ñ ,   B = á- 1; 2ñ ,    h)   A = ( - 3; 2) ,   B = á2; 3) , i) A = (- ¥ ; 2) , B = á 0 ; 3 ñ

4. Równaniem pierwszego stopnia (liniowym) nazywamy równanie ax + b = 0,
gdzie a i b, to dane liczby, x niewiadoma.

5.      Ilość rozwiązań równania liniowego:
a) a ¹ 0   Þ   równanie posiada jeden pierwiastek ,
b) a = 0 i   b = 0   Þ   równanie tożsamościowe, ma nieskończenie wiele rozwiązań ,
c) a = 0   i   b ¹ 0 Þ   równanie sprzeczne, nie ma rozwiązań

6. Rozwiąż równania : a) (x + 4)(x – 3) – 2(3x – 2) = (x – 4)², b) (x – 3)² – 4x = (x –2)(x + 8) – 1 , c) (x + 1)² – 2x = 3 + x², d) , f) (x – 2)(x + 2) = 2(x + 1)²

7. Nierównością stopnia pierwszego ( liniową) z jedną niewiadomą x nazywamy każdą nierówność postaci : ax + b > 0, ax + b < 0, ax + b ³ 0, ax + b £ 0.

8. Zbiorem rozwiązań nierówności nazywamy zbiór liczb spełniających nierówność.
a) gdy a = 0 nierówność jest tożsamościowa lub sprzeczna,
b) gdy a ¹ 0, to zbiorem rozwiązań jest jeden z przedziałów

9. Rozwiąż nierówności i rozwiązania zaznacz na osi liczbowej : a) (1 + x)² + 3x² ³ (2x – 1)² + 6,

10. Układ nierówności to inaczej koniunkcja nierówności. Mogą w niej występować dwie lub więcej nierówności. Zbiorem rozwiązań układu nierówności jest część wspólna rozwiązań każdej z nierówności układu.

11. Rozwiąż układy nierówności :

12. Rozwiąż nierówności podwójne : a) 2(x + 1) < 3(x + 1) < 4 (x + 1) , b) .

13. Znajdź taką liczbę dwucyfrową, żeby suma jej cyfr wynosiła 16 i żeby po przestawieniu tych cyfr otrzymać : a) liczbę większą od szukanej, b) liczbę mniejszą od szukanej.

14. Grecki matematyk Pitagoras na pytanie o liczbę uczniów odpowiadał: „Połowa moich uczniów studiuje matematykę, czwarta część uprawia muzykę, siódma część ćwiczy się w sztuce milczenia i są jeszcze 3 kobiety”. Ile osób liczyła szkoła Pitagorasa?

15. Trzech braci Bartek, Maciek i Tomek wybrało się na ryby i złowiło ich 14. Bartek złowił 2 razy mniej niż Tomek, Maciek złowił więcej niż Bartek, ale mniej niż Tomek. Ile ryb złowił każdy z chłopców?

16. Suma cyfr liczby dwucyfrowej jest równa 11. Jeżeli napiszemy cyfry w odwrotnej kolejności, to otrzymamy liczbę mniejszą od połowy szukanej. Jaka to liczba?

17. Jedna z przekątnych rombu ma długość 8cm. Pewien trójkąt ma wysokość 6cm i podstawę o 1cm dłuższą od drugiej przekątnej rombu. Jaką długość powinna mieć druga przekątna, aby pole trójkąta było mniejsze od pola rombu?

..............................................................................................................................

TEMAT 11/14 ODLEGŁOŚĆ PUNKTÓW NA OSI . WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA.

PRZYBLIŻENIA

1.      Odległość punktów ( długość odcinka)
a) na osi liczbowej
   Jeżeli A = (x_A) i B = (x_B), to |AB| = |x_B – x_A|
b) Środek odcinka na osi liczbowej
   Jeżeli A = (x_A) i B = (x_B), to S=( x_S) odcinka AB ma współrzędną

2. Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej x jest równa liczbie x , gdy x jest liczbą nieujemną
i liczbie przeciwnej do x , gdy x jest ujemne ( oznaczamy | x | )
przykłady |2|=2 , |0,5|=0,5 , |0|=0, |-3,1|=-(-3,1)=3,1 , |-2|=-(-2)=2 .
Wartość bezwzględną liczby x interpretujemy geometrycznie jako odległość tej liczby na osi liczbowej od zera, bo |x|=|x–0|

3.      Wnioski : a) | x | ³ 0 wartość bezwzględna każdej liczbie rzeczywistej jest nieujemna,
b)   | x | = | - x |      wartości bezwzględne liczb przeciwnych są równe np. | 2 | = | - 2 | ,
c)    | x | = a Û   x = a   x = - a   np. | x | = 3 Û x = 3   x = - 3 ,
d)   | x | < a    Û    x > - a     x < a   Û x Î ( - a; a ) np. | x | < 4 Û x Î ( - 4; 4 ) ,
e)     | x | > a Û x < - a x > a   Û x Î (- ¥ ; - a ) È ( a; ¥)

4.       Rozwiąż graficznie równania i nierówności :   a) | x – 2| = 3,   b) | x + 1| = 4,   c) |2x – 3| = 1,
d) |x +2 | < 3,    e) | x| ³ 5 , f) | x | < 2 , g) | x – 1 | £ 4, h) | x | £ 2 , i) | x + 4 | ³ 2 , j) | x | < 0,
k) | x + 5 | = 9,    l) | x + 6 | > 0 , m) | x | ³ ) , n) |x – 7 | ³ 1 , o) | x + 1 | £ 9 , p) | x | > 2

5. Rozwiąż nierówność: . Zaznacz zbiór rozwiązań na osi liczbowej, a następnie wskaż wśród rozwiązań nierówności a) liczby naturalne b) najmniejszą liczbę pierwszą

6. Rozwiązanie nierówności

A. jest takie samo jak suma rozwiązań dwóch nierówności: lub .	B. to przedział . .
C. . to zbiór liczb mniejszych od 5.	D.. to zbiór liczb większych od 3.

7. Na osi liczbowej zaznaczono zbiór rozwiązań nierówności :

8. Zapisz podane zdanie w postaci równania lub nierówności i rozwiąż to równanie lub nierówność:

a) Odległość na osi liczbowej między liczbą 3 a liczbą x wynosi 5.

b) Odległość na osi liczbowej między liczbą x a liczbą 5 jest mniejsza lub równa 7.

c) Odległość na osi liczbowej między liczbą x a liczbą o 3 mniejszą od x wynosi 4.

9. Znajdź liczby spełniające jedną lub drugą nierówność: Nierówności to: i .

10. Oblicz .

11. Oblicz:

b) Liczbę można zapisać .

W podobny sposób oblicz.

12. Przybliżenia i błąd przybliżenia.
a)Gdy chcemy zaokrąglić liczbę dziesiętną, czyli odrzucić pewną liczbę jej końcowych cyfr, to stosujemy następującą regułę zaokrąglania.
Jeżeli pierwsza z odrzuconych cyfr jest 0, 1, 2, 3 lub 4, to ostatnia z zachowanych cyfr pozostaje bez zmian np. . Jest to przybliżenie z niedomiarem
Jeżeli pierwsza z odrzuconych cyfr to 5, 6, 7, 8, 9 to ostatnią z zachowanych cyfr zwiększamy o 1 np.. Jest to przybliżenie z nadmiarem

13. Wyznacz, używając kalkulatora, wartość przybliżoną i wynik podaj z dokładnością do:
a) 0,1 b) 0,01

14. Błąd bezwzględny przybliżenia jest równy wartości bezwzględnej różnicy liczby i jej przybliżenia jeśli przybliżeniem liczby a jest liczba p. (Błąd bezwzględny przybliżenia ma zawsze wartość nieujemną)

15. Jeżeli przybliżeniem liczby a ()jest liczba p to błędem względnym przybliżenia nazywamy liczbę . ( w praktyce często błąd względny często podawany jest w procentach)

16. Podaj przybliżenie liczby k z dokładnością do 0,01. Czy jest to przybliżenie z nadmiarem czy niedomiarem? Oblicz błąd bezwzględny przybliżenia.
a)k=241,538, b) k=13,628, c) k=3,3742, d) k=4,2376

17. Szacowanie wyników działań.
Oszacować liczbę x z dokładnością d, to znaczy podać taki przedział (a,b), że i b-a=d .

18. Przykład:
Dane są liczby . Oszacuj ich: a) sumę,   b) różnicę    c) iloczyn,    d) iloraz   wiedząc, że . Oszacowany wynik sprawdź na kalkulatorze .
Rozwiązanie:
a)Aby oszacować sumę , należy dodać stronami nierówności:

    zatem

b) Aby oszacować różnicę , należy oszacować liczbę .

    zatem

c) Aby oszacować iloczyn , należy pomnożyć stronami nierówności:

   zatem

d) Aby oszacować iloraz , należy oszacować liczbę i skorzystać z równości
Ponieważ

stąd , zatem

19. Wiedząc, że , oszacuj liczbę:
a) b) c) d)

MATEMATYKA - SEMESTR III

TEMATY ZAJĘĆ

1/2. Wykres funkcji kwadratowej i jej własności.

3/4. Równania i nierówności kwadratowe

5/7. Powtórzenie wiadomości o wielomianach.

8 Równania wielomianowe.

9/10 Działania na wyrażeniach wymiernych

11. Równania wymierne.

12 Wykres funkcji homograficznej i jej własności

13/14. Wykres funkcji wykładniczej i jej własności

..............................................................................................................................................

Podręczniki
A. Cewe, M. Krawczyk. M. Kruk - Matematyka w otaczającym nas świecie. Cz.I.
Podręcznik dla absolwentów ZSZ. Kształcenie w zakresie podstawowym.

A. Cewe, H. Nahorska, I. Pancer – Tablice matematyczne

A. Cewe, H. Nahorska - Matura w nowej formule.
Zbiór zadań z zakresu kształcenia podstawowego i rozszerzonego.

.........................................................................................................................................................

TEMAT 1/ 2 WYKRES I WŁASNOŚCI FUNKCJI KWADRATOWEJ.

1. Definicja funkcji kwadratowej
Jeżeli a¹0, to funkcję f określoną na zborze R wzorem f(x)=ax²+bx+c nazywamy funkcją kwadratową (w postaci ogólnej) lub trójmianem kwadratowym.
a, b, c to współczynniki liczbowe funkcji kwadratowej.

2. Wykresem funkcji kwadratowej jest krzywa zwana parabolą. Jej wierzchołkiem jest punkt W=(p,q), gdzie wyróżnik trójmianu).
Ramiona paraboli przecinają oś OY w punkcie (0,c). Gdy a > 0 ramiona skierowane są „ku górze”,
a gdy a < 0 „ku dołowi”.

3.      Miejsca zerowe funkcji kwadratowej
D>0Þ dwa miejsca zerowe   i postać iloczynowa   y=a(x–x₁)(x–x₂)
D=0Þ jedno miejsce zerowe   i postać iloczynowa y=a(x–x₀)²
D<0Þ nie ma miejsc zerowych i nie ma postaci iloczynowej

4. Postać kanoniczna y=a(x–p)²+q.
Wykres funkcji y=a(x–p)²+q powstaje z przesunięcia wykresu funkcji y=ax² o wektor .

5. Ekstremum lokalne funkcji kwadratowej oznaczamy y_min (to najmniejsza wartość funkcji),
y_max (to największa wartość funkcji).

6. Dla podanych funkcji kwadratowych: a) y=-2x²+3x–1, b) y=2x²+4x+3, c) y=3x²–3,
d) y=-x²+2x, e) y=-x²+4x–5, f) y=-(x+3)²+4, g) y=2(x–1)(x+3), h) y=(x+4)²–1
wykonaj poniższe polecenia:
- oblicz współrzędne wierzchołka
- oblicz miejsca zerowe (o ile istnieją)
- podaj inne postacie tej funkcji
- wykonaj wykres
- określ zbiór wartości
- napisz równanie osi symetrii wykresu
- określ ekstremum lokalne funkcji
- zbuduj tabelę przebiegu zmienności funkcji (przedziały , w których funkcja rośnie, maleje)

7. Sporządź wykres funkcji

a) b)

c) d)

8. Napisz wzór funkcji kwadratowej, której wykresem jest parabola
o wierzchołku W ( 1; -9 ), przechodząca przez punkt A ( -1; 8 ).

9. Znając miejsca zerowe funkcji , napisz wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej f(x)=ax²+bx+c,

a) przy założeniu, że współczynnik a ma wartość -2.

b) przy założeniu, że współczynnik a ma wartość 3.

10. Postacią kanoniczną trójmianu kwadratowego f(x) = -2x² + 5x – 6 jest:

A.	B.
C.	D.

11. Postacią ogólną funkcji kwadratowej f(x) = -2(x + 1)2 – 3 jest

A. f(x) = 4x² + 8x + 1

B. f(x) = -2x² – 5

C. f(x) = -2x² – 2x – 1

D. f(x) = -2x² – 2x – 5

12. Funkcja kwadratowa, której wykres przechodzi przez punkty (0, -3), (1, -5) oraz (-2, -11) wyrażona jest wzorem:

A. f(x)=3x² – 11

B. f(x) = -2x² – 3

C. f(x) = x² – 3x – 3

D. f(x) = -x²+ 2x – 3

13. Wyznacz miejsca zerowe funkcji:

a); b)

c) d)

14. Miejscami zerowymi funkcji f(x) = 4x² + bx + c są liczby 5 i -3. Zatem:

A. b = 2 i c = 8

B. b = -2 i c = -15

C. b = -8 i c = -60

D. b = -2 i c = -8

15. Dla jakiego x funkcja f(x) = x² + 2x przyjmuje w przedziale <-4; 1> wartość największą?

A. x = -1

B. x = -4

C. x = 1

D. x = 1 lub x = -3

16. Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji w podanym przedziale:
a) f(x)=-x²+2x+5, xÎá-1,2ñ c) f(x)=x²+2x+3, xÎá-2,1ñ
b) f(x)=2x²–2x+1, xÎá0,1ñ d) f(x)=-3x²+6x+5, xÎá0,3ñ

17. Wyznacz wzór funkcji kwadratowej, której miejscami zerowymi są liczby 1 i -3 i której wykresem jest parabola styczna do prostej o równaniu y=-4.

18. Podaj współrzędne wektora o jaki należy przesunąć parabolę y=x², aby otrzymać parabolę o równaniu:
a) y=x²+6x–7, b) y=x²–3x+1, c) y=x²–4x , d) y=x²+6

19. Parabolę o równaniu y = f(x) przesunięto o wektor . Podaj równanie otrzymanej paraboli i wykonaj wykres, gdy :a) y=x², , b) y=-2x², , c) y=3x² ,

20. Napisz wzór funkcji kwadratowej y=f(x) i oblicz jej miejsca zerowe, jeżeli:
a) f(4)=1 i najmniejsza wartość funkcji jest równa
b) wykres funkcji f jest styczny do osi x w punkcie A=(3,0) oraz punkt B=(2,1) należy do wykresu
c) parabola, która jest wykresem funkcji przecina oś y w punkcie P=(0,7) a jej wierzchołkiem jest punkt W=(2,3)
d) wykres funkcji przechodzi przez punkty A=(0,1), B=(2,-7), a jego osią symetrii jest prosta o równaniu x=3

21. Napisz wzór funkcji kwadratowej f, której miejscami zerowymi są liczby -1 i 7, a zbiorem jej wartości jest zbiór: a) Y_f=(-¥,4ñ, b) Y_f=á-1,¥ )

22. Zdjęcie o wymiarach 9cm x 13 cm chcemy oprawić w ramkę o jednakowej szerokości. Oblicz, jaką szerokość ramki należy dobrać, aby po oprawieniu pole zdjęcia wraz z ramką wynosiło 221 cm².

23. Mamy 240m bieżącej siatki ogrodzeniowej. Chcemy ogrodzić prostokątny ogródek o jak największej powierzchni. Jakie wymiary powinien mieć ogródek?.

24. Jakie jest równanie osi symetrii paraboli y = 2(x + 5)² – 4 ?

A. x = -5

B. x = 5

C. y = -5

D. y = x

........................................................................................................................................................

TEMAT 3/4 RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI KWADRATOWE.

1.      Równaniem kwadratowym ( równaniem stopnia drugiego ) z niewiadomą x nazywamy
równanie   ax²+bx+c=0, gdzie   a, b, cÎR,    a¹0.
D>0Þ równanie ma dwa różne pierwiastki x₁¹x₂ i
D=0Þ równanie ma jeden pierwiastek podwójny
D<0Þ równanie nie ma rozwiązań, nie istnieją pierwiastki

2. Równania kwadratowe niezupełne: ax²+bx=0 Ú ax²+c=0 Ú ax²=0.
Rozwiązać możemy te równania rozkładając lewą stronę na czynniki.

3. Równanie dwukwadratowe to równanie postaci ax⁴+bx²+c=0.

4.      Rozwiąż równania:
a)   x²+3x–10=0,    x²–4x+4=0,   3x²+5x+2=0,   2x²–x+5=0,   5x²+8=-12x,
3x(x–2)=-2,5, (2x+1)(2x–1)=4x, (3z–5)(2z–2)=16, 3(x–2)²=18, 5y²=4y(2y+3)+8
b) (x–3)²–2x=4x+25,   (x–5)(x+7)=2x–26,   x(x–7)–3x=1–10x,    (z+4)(z–2)+8=2z²+2z,
(x+1)²–3x=2–x,   x(x–7)+8x=3x²,   4x(x+5)–3=3(x–1),   (x+6)²–4x=36,   3(y–1)²–4y=3,
(x+3)(x–5)+2x²=4x-15
c)   x⁴–5x²+4=0,    x⁴+4x²–5=0,    4x⁴+7x²–2=0, x⁶–2x³+1=0, 3x⁶–7x³+2=0

5.      Nierówności kwadratowe
Rozwiązać nierówność kwadratową    ax²+bx+c>0, ax²+bx+c³0,   ax²+bx+c<0,   ax²+bx+c£0,
gdzie a¹0, x jest niewiadomą to znaczy odpowiedzieć na pytanie dla jakich argumentów x funkcja kwadratowa y=ax²+bx+c ma odpowiednio wartości dodatnie (y>0), nieujemne (y³0), ujemne (y<0), niedodatnie(y£0)
Rozwiąż nierówności: a) 3x²–3x+5>0,   -3x²+4x–7>0,   x²–2x+2<2x–2, (x+2)²<1,   (x–2)²+5³0,
0,5(x+3)(x–2)³0,   (x–1)²+5x£6x+5,   3x²–x(x+1)<2x
b) –3x²£12,    6x²>24,   x²–25£0,   2(x–3)²>8, -x²+x<0, (x+1)²–4x³x+1

6. Rozwiąż równania i nierówności:

a) x² - 25=0 b) x² - 4x=0 c) x²-2x+3=0; d) x²-5x+6=0; e) x²+36=0; f) x(3-x)-(2+x)² = (x-1)(x+1)
g) x²<25; x² + x+8 >0 h) -x²+64>0 i) 2x² -2x -24 0 j) 4x²+2x-10 k) -x²+2x-10.

7. Funkcja f(x) = 4x – x² przyjmuje wartości dodatnie wtedy i tylko wtedy, gdy:

8. Równanie x² + 5 = 9

A. nie ma pierwiastków

B. ma dwa dodatnie pierwiastki

C. ma dwa ujemne pierwiastki

D. ma dwa pierwiastki o różnych znakach

9. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności x²> 4 jest

B. (-2; 2)

D. (-2; 0) (0; 2)

10. Wyznacz dziedzinę funkcji : ,

11. Układy równań z dwiema niewiadomymi, z których przynajmniej jedno jest stopnia drugiego
Rozwiązanie układu dwóch równań z dwiema niewiadomymi
polega na wyznaczeniu wszystkich par liczb, które spełniają oba równania układu.
Para liczb będąca rozwiązaniem układu równań, to liczby, które są współrzędnymi punktów przecięcia się krzywych opisanych równaniami układu.

12. Rozwiąż algebraicznie układy równań i podaj ilustracje graficzną układu:

..................................................................................................................................................................

TEMAT 5/7 POWTÓRZENIE WIADOMOŚCI O WIELOMIANACH

1.      DEF. Wielomianem stopnia n jednej zmiennej xÎR nazywamy wyrażenie postaci
W(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+...+a₁x+a₀,    gdzie nÎN stopień wielomianu   st[W(x)]=n,
a_n¹0,      a₀,a₁,a_2,...,a_n-1,a_nÎR to współczynniki wielomianu, a₀ to wyraz wolny.
Jeżeli W(x)=0   dla każdego x, to wielomian nazywamy zerowym co zapisujemy W(x)º0.    Wielomian zerowy nie ma stopnia.

2.      Dane są wielomiany W(x) i   Q(x). Oblicz W(x)+Q(x), W(x)–Q(x), W(x)×Q(x) i określ stopień otrzymanych wielomianów, jeżeli:
a)    W(x)=x³–4x,     Q(x)=x³+3
b)    W(x)=2x³+3x,      Q(x)=x³–4,    c)   W(x)=3x²–4x+2,      Q(x)=x³–x.

3. Dane są wielomiany W(x) = x⁴ + x³ + x² + x + 1 i Q(x) = x⁵ + x³ + 1.

Wówczas:

A. W(x) + Q(x) jest wielomianem dziewiątego stopnia	B. W(x) – Q(x) jest wielomianem piątego stopnia
C. W(x) · Q(x) jest wielomianem piątego stopnia	D. W(x) + 2Q(x) jest wielomianem czternastego stopnia

4. Dane są wielomiany , oraz Wielomian jest równy

A.	B.
C.	D.

5. Zamień sumy na iloczyn

a) b) c)

6. Przekształć potęgi na sumy algebraiczne

a) b) c) d)

7. Stosując wzory skróconego mnożenia, rozłóż na czynniki wyrażenie:

a) b) c) .

8. Doprowadź wyrażenia algebraiczne do najprostszej postaci:

a) b)

9. Wykonaj mnożenie wykorzystując wzory skróconego mnożenia

a) b)

10. Wykonaj działania na wielomianach
, i

a) b) c)

d) e)

11. Wielomiany równe
Dwa niezerowe wielomiany jednej zmiennej są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są tego samego stopnia i mają jednakowe współczynniki przy tych samych potęgach zmiennej.
Określ dla jakich wartości t i k dane wielomiany W(x) i P(x) są równe
a)W(x)=x³–2x+3, P(x)=x³–2tx²+kx+3, b) W(x)=tx³–2x²+7x-3, P(x)=-x³–2x²+kx–3
c) W(x)=(2x+1)(x²+3), P(x)=2x³+tx²+kx+3

12. Pierwiastkiem (miejscem zerowym) wielomianu W(x) nazywamy taką liczbę rzeczywistą   r,
że    W(r)=0.
Sprawdź, która z podanych obok liczb jest pierwiastkiem wielomianu   W(x):
a) W(x)=x³–3x²+4         2, 1, -1              b) W(x)=x³–x²–6x        3, 0, - 2,
c)    W(x)=x²–3x+1     1, - 1, - 2

13. Wielomian W(x) przedstaw jako iloczyn dwóch wielomianów, wiedząc, że podana obok liczba r jest jego pierwiastkiem:
a) W(x)=x³–3x²–2x+2, r=-1, b) W(x)=x²–3x–4, r=-1
c) W(x)=x³–2x²–x+2, r=1, d) W(x)=-x³+6x+4, r=-2, e) W(x)=x³–2x²+6x–12, r=2

14. Metody rozkładu wielomianów na czynniki:

· zastosowanie wzorów skróconego mnożenia

· wykorzystanie postaci iloczynowej trójmianu kwadratowego

· wyłączanie wspólnego czynnika poza nawias

· grupowanie wyrazów

15. Przypomnienie wzorów skróconego mnożenia
kwadrat   sumy                       (a+b)²=a²+2ab+b2
różnica kwadratów                a²–b²=(a–b)(a+b)
sześcian sumy                        (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³
suma sześcianów                    a³+b³=(a+b)(a²–ab+b²)
różnica sześcianów                 a³–b³=(a–b)(a²+ab+b²)

16. Podane wielomiany rozłóż na czynniki i oblicz jego pierwiastki:
a) 27x³–64,     b) 9x²–16,     c) x²–12x+36,    d) 8x³+27,    e) x³+3x²–4x–12,
f) x⁵+ x³–x²–1,    g) 2x³–6x²,    h)    x⁴+ x³–6x²    i) x³–x²+x–1,     j) 9x³–4x²–27x+12,
k) 6x³+6x²–18x–18, l) x⁵–5x⁴–6x³,

17. Rozłóż wielomian na czynniki jak najniższego stopnia.

a) b) c)
d) e) f)

18. Wielomian ma postać

A.	B.
C.	D.

......................................................................................................................................................................

TEMAT 8 RÓWNANIA WIELOMIANOWE.

Rozwiązać równanie wielomianowe W(x)=0 tzn. znaleźć pierwiastki wielomianu, czyli jego miejsca zerowe.

Podaj pierwiastki wielomianu W(x) i podaj ich krotność: W(x)=(x-1)(x+3)², W(x)=(x+3)³(x-13)², W(x)=x(x²+1)(x+3)², W(x)=(x-2)(x³-3)(x²-x+3), W(x)=-2x³(x²+1)(x-3)²,

Podaj przykład wielomianu czwartego stopnia, wiedząc, że jego jedynymi pierwiastkami są liczby:
a) 2, 3, -5, -7 b) -1, 2, 4, c) 0, 2

Rozwiąż równania: a) x³–x²–11x=x²–12, b) x³–7x²=2x–14, c) x³–2x²=5x–10, d) x³–25x=2x²–50,
e) x³–3x²=9x–27, f) x³-4x²+2x-8=0 g) 2x⁵-5x⁴-3x³=0 h) x³-4x=x-2

Pierwiastkami wielomianu W(x) = (x – 3)(x²– 25) są liczby:

A. -3; 3; 5

B. -3; 3; -5

C. -5; 3; 5

D. -5; -3; 5

..........................................................................................................................................................................

TEMAT 9/10 DZIAŁANIA NA WYRAŻENIACH WYMIERNYCH.

1. Wyrażeniem wymiernym nazywamy wyrażenie algebraiczne , gdzie W i P są wielomianami
i P nie jest wielomianem zerowym.

2. Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór D={x: P(x)=0}

3. Określ dziedzinę wyrażeń wymiernych:

4. Wyrażenia wymierne nazywamy równymi, gdy mają równe dziedziny i przyjmują takie same wartości dla jednakowych wartości zmiennych.
Oceń, czy pary wyrażeń są równe: , 2x

5.      Skracanie wyrażeń wymiernych – schemat:
   - rozkład licznika i mianownika na czynniki
   - ustalenie dziedziny D
- skracanie tzn. dzielenie rozłożonych w liczniku i mianowniku wielomianów przez te same czynniki

6. Skróć wyrażenia:

7.      Rozszerzanie wyrażeń wymiernych – schemat
   - pomnożyć licznik i mianownik przez dane wyrażenie
   - ustalić dziedzinę otrzymanego wyrażenia

8. Rozszerz dane wyrażenie przez wyrażenie podane obok: a) 2x

9.      Mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych
a) schemat mnożenia
    - rozłożyć liczniki i mianowniki na czynniki (o ile to możliwe)
    - ustalić dziedzinę D zakładając, że każdy czynnik mianownika jest różny od zera
    - znaleźć wspólne czynniki licznika i mianownika, po to, by skrócić
   - wykonać mnożenie licznika przez licznik i mianownika przez mianownik
b) schemat dzielenia
     - iloraz zastąpić iloczynem dzielnej i odwrotności dzielnika
     - rozłożyć liczniki i mianowniki na czynniki
     - ustalić dziedzinę D zakładając, że każdy czynnik mianownika i licznika wyrażenia, które było
       dzielnikiem jest różny od zera
     - wykonać mnożenie
c) wykonaj działania:

10. Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych
a) schemat dodawania i odejmowania
     -   rozłożyć mianowniki na czynniki
     - ustalić dziedzinę D zakładając, że każdy czynnik mianownika jest różny od zera
     -   ustalić wspólny mianownik   ( wspólny mianownik to iloczyn wszystkich czynników
          pierwszego mianownika i tych czynników drugiego, których nie ma w pierwszym)
      - rozszerzyć każde wyrażenie do wspólnego mianownika
      - wykonać działania w liczniku
b) wykonaj działania:
,    .

..........................................................................................................................................................................

TEMAT 11 RÓWNANIA WYMIERNE.

1. Równaniem wymiernym nazywamy równanie .

2. Rozwiąż równania:

3. Wyznacz dziedzinę funkcji:
.

4. Rozwiąż równania:

5. a) c) d) e)

6. Rozwiązaniem równania jest liczba:

A. -2

B. 1

C. -5

D. 2

TEMAT 12 WYKRES FUNKCJI I JEJ WŁASNOŚCI.

1. Wielkości odwrotnie proporcjonalne są wtedy, gdy ich iloczyn jest stały.
x×y=a, x,yÎR\{0}, aÎR\{0}, a–współczynnik proporcjonalności

2. Sporządź wykresy funkcji i omów ich własności:
a) przykład

x	- 4	- 3	- 2	- 1	-0,5	0,5	1	2	3	4
y

   Y=
   asymptoty:
   środek symetrii:
   osie symetrii:
   Funkcja   jest najprostszym przykładem funkcji homograficznej.
   Wykresem funkcji f jest krzywa zwana hiperbolą.

3. Porównaj wykresy funkcji

4. Każdej liczbie jednocyfrowej przyporządkowujemy jej odwrotność. Który z punktów nie należy do wykresu funkcji:

A. A: ( 1, 1 )

B. B: ( 4, )

C. C: ( 1, -1 )

D. D: ( 3, ).

5. Samochód poruszał się z prędkością 70 km/h i przejechał 50 km. O ile minut skróciłaby się podróż tym samochodem, gdyby na przejechanym odcinku 50 km przyspieszył on o 12 km/h?

6. Dziedziną funkcji jest zbiór

A. R

B. R \ {-1}

C. R \ { }

D. R \

7. Zbiorem wartości funkcji jest zbiór:

B. R

C. R \ {0}

D. R \ {-3}

.........................................................................................................................................................................

TEMAT 13/14 WYKRES I WŁASNOŚCI FUNKCJI WYKŁADNICZEJ

Funkcją wykładniczą nazywamy funkcję określoną wzorem x®y=a^x , aÎR⁺-{1}, xÎR
Wykres funkcji wykładniczej

aÎ ( 0; 1) , n.p.

aÎ(1 ; ¥) , n.p. a =2 Þ x®y=2^x

D = Y =

Miejsca zerowe :

Funkcja rośnie w

Funkcja maleje w

D = Y =

Miejsca zerowe :

Funkcja rośnie w

Funkcja maleje w

Wykonaj wykresy funkcji i omów własności:
a) y=3^x , y=-3^x i y=1–3^xb) y=0,5^x , y=3^.0,5^x i y=3^.0,5^x–1,5, y=0,5^x-1–0,5
Sporządź wykres funkcji: a) b)
Narysuj w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji oraz określ dla jakich wartości x spełnione są nierówności: .
Uporządkuj rosnąco liczby:
Liczebność pewnej kolonii bakterii wynosi 1 mln. Co każde 6 minut kolonia powiększa swoja liczebność o 10%.

a) Ile bakterii będzie liczyć ta kolonia po upływie 18 minut? Wynik podaj w zaokrągleniu do 1000.

b) Po jakim czasie kolonia ta będzie liczyć 1,61051∙106 bakterii.

Czas połowicznego rozpadu radonu 219 wynosi 3,92 sekundy. Ile miligramów radonu pozostanie w próbce zawierającej 1g tego izotopu po upływie 30 sekund? Wynik podaj w zaokrągleniu do 0,01 mg.

Matematyka – semestr V

TEMATY ZAJĘĆ

1-2 Kąty w przestrzeni. Graniastosłupy

3-4 Ostrosłupy.

5-6 Bryły obrotowe.

7-8 Doświadczenia losowe. Klasyczna i aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa
i jego własności.

9-11 Obliczanie prawdopodobieństwa zdarzeń losowych przy wykorzystaniu definicji
prawdopodobieństwa i jego własności i za pomocą drzewa stochastycznego.

12 Elementy statystyki

13 Średnia arytmetyczna, ważona. Dominanta ,mediana

14 Wariancja i odchylenie standardowe

podręczniki

1. A.Cewe, M.Krawczyk, M.Kruk – Matematyka w otaczającym nas świecie cz.I i II

2. A.Cewe, H.Nahorska – Tablice matematyczne

3. A.Cewe, H.Nahorska – Matura w nowej formule.
Zbiór zadań z zakresu kształcenia podstawowego i rozszerzonego.

TEMAT 1-2 KĄTY W PRZESTRZENI. GRANIASTOSŁUPY

1. Prosta przecinająca ( przebijająca) płaszczyznę
Jeżeli płaszczyzna p i prosta l mają jeden punkt wspólny, to mówimy, że prosta l przecina płaszczyznę p

2. Prosta prostopadła do płaszczyzny ( l ^ p )
Prosta l jest prostopadła do płaszczyzny p, jeśli jest prostopadła do każdej prostej leżącej na tej płaszczyźnie.

3. Kąt nachylenia prostej do płaszczyzny
Jeżeli prosta l nie jest prostopadła do płaszczyzny p, to kątem nachylenia prostej l do płaszczyzny p nazywamy kąt a utworzony przez tę prostą i jej rzut prostokątny l¢ na daną płaszczyznę.
Prosta równoległa do płaszczyzny tworzy z nią kąt 0°.

4. Kąt dwuścienny
Kątem dwuściennym nazywamy część przestrzeni wyznaczoną przez dwie półpłaszczyzny a₁ i a₂o wspólnej krawędzi k, wraz z tymi półpłaszczyznami. Półpłaszczyzny a₁ i a₂ nazywamy ścianami kąta.
Miarą kata dwuściennego nazywamy miarę kąta płaskiego będącego wspólną częścią kąta dwuściennego i płaszczyzny prostopadłej do jego krawędzi. Jeżeli ta miara wynosi 90° to półpłaszczyzny są prostopadłe.

5.      Wielościany
Wielościan to bryła przestrzenna, której wszystkie ściany są wielokątami
                                                                 odcinki    AB, BC, CD, DF, BG – to krawędzie wielościanu
                                                                  punkty   A, B, C, D, E, F, G, - wierzchołki wielościanu

                                                                  AF, DE, BF -   przekątne wielościanu
                                                                 wielokąty ABCD, EFG, AFD, BCEG – ściany wielościanu

6. Graniastosłupem nazywamy wielościan, którego dwie ściany, zwane podstawami, są przystającymi wielokątami leżącymi w płaszczyznach równoległych, a pozostałe ściany, zwane ścianami bocznymi, są równoległobokami, których wszystkie wierzchołki są jednocześnie wierzchołkami podstaw.
Graniastosłup, którego podstawa jest n-kątem nazywamy graniastosłupem n-kątnym
Wysokość graniastosłupa to odcinek, którego końce należą do płaszczyzn zawierających podstawy graniastosłupa i który do tych płaszczyzn jest prostopadły.

7. Podaj liczbę wierzchołków, krawędzi i ścian bocznych następujących graniastosłupów: trójkątnego, czworokątnego, pięciokątnego, siedmiokątnego, dwunastokątnego i n-kątnego.
Wyniki przedstaw w tabeli.

8. Czy istnieje graniastosłup, który ma: a) 35 wierzchołków, b) 45 krawędzi, c) 78 wierzchołków, d) 24 krawędzie, e) 43 krawędzie, f) 52 wierzchołki?

9. Wśród graniastosłupów wyróżniamy: graniastosłupy proste, prawidłowe i pochyłe.
Graniastosłup prosty to graniastosłup, w którym krawędzie boczne są prostopadłe do podstawy.
Graniastosłup prawidłowy to graniastosłup prosty, którego podstawami są wielokąty foremne.
Graniastosłup pochyły to graniastosłup, w którym krawędzie boczne nie są prostopadłe do podstaw.
Prostopadłościan to graniastosłup, którego wszystkie ściany są prostokątami.
Sześcian to graniastosłup, którego wszystkie ściany są kwadratami.

10. Objętość i pole powierzchni graniastosłupów
                                                                     V = P_p × h     P_c = 2P_p + P_b
                                                                     h – wysokość graniastosłupa, d – przekątna
                                                                    P_p– pole podstawy,      P_b – pole powierzchni bocznej
                                                                    P_c – pole powierzchni całkowitej
                                                                    V – objętość graniastosłupa

11. Wyznacz długość przekątnej sześcianu o krawędzi a. Wyznacz jego objętość i pole powierzchni.

12. Zaznacz na rysunku i oblicz długość najdłuższej przekątnej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego o krawędzi podstawy 10 i wysokości 20. Oblicz objętość i pole powierzchni tej bryły.

13. W prostopadłościanie wysokość ma długość 12, a krawędzie podstawy mają długości 6 i 8.
Oblicz objętość, pole powierzchni bryły i kąt nachylenia przekątnej do jego podstawy.

14. Oblicz objętość i pole powierzchni graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o krawędzi podstawy 5cm i wysokości 2cm.

15. Do naczynia w kształcie prostopadłościanu o krawędziach podstawy 10cm i 8cm nalano wody do wysokości 6cm. O ile podniesie się poziom wody, gdy do naczynia wrzucimy sześcienną kostkę o krawędzi 4cm

16. Podstawą graniastosłupa prostego jest równoległobok o bokach 5 i 4 oraz kącie ostrym 60°.
Wysokość graniastosłupa jest równa 3. Oblicz objętość, pole powierzchni i narysuj siatkę.

17. W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym przekątna ściany bocznej ma długość 12cm
i tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 40°. Oblicz objętość i pole powierzchni graniastosłupa.

18. Oblicz objętość i pole powierzchni prostopadłościanu o podstawie kwadratowej, którego przekątna o długości jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60°

19. Pole powierzchni prostopadłościanu jest równe 1088cm² . Oblicz długości krawędzi i objętość prostopadłościanu, jeżeli wiesz, że jego krawędzie są w stosunku 1: 4 : 6.

20. W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym przekątna podstawy ma długość 8cm i tworzy z przekątna ściany bocznej , z którą ma wspólny wierzchołek kąt, którego cosinus jest równy .
Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

21. Przekątna graniastosłupa czworokątnego prawidłowego ma długość 12cm i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30°. Oblicz objętość i pole powierzchni tego graniastosłupa.

..................................................................................................................................................
TEMAT 3-4 OSTROSŁUPY

1.      Ostrosłupem nazywamy wielościan, którego jedna ściana , zwana podstawą, jest wielokątem, a pozostałe ściany, zwane ścianami bocznymi, są trójkątami o wspólnym wierzchołku S, który nazywamy wierzchołkiem ostrosłupa.
Wysokość ostrosłupa to odcinek łączący wierzchołek ostrosłupa z jego rzutem prostokątnym na płaszczyznę zawierającą podstawę ostrosłupa.


                                                                                            P_c = P_p + P_b

2. Ostrosłup prawidłowy ostrosłup, którego podstawą jest wielokąt foremny i którego spodek wysokości pokryw się ze środkiem okręgu opisanego na podstawie.
Ściany boczne ostrosłupa prawidłowego są przystającymi trójkątami równoramiennymi.
Czworościan to ostrosłup, którego wszystkie ściany są trójkątami.
Czworościan foremny to czworościan, którego wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi.

3. Sprawdź, czy w pojemniku w kształcie czworościanu foremnego o krawędzi zmieści się
napoju.

4. W ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym wysokość jest o 50% dłuższa od krawędzi podstawy. Oblicz miarę kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.

5. Pole ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe polu jego podstawy.
Oblicz miarę kata nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.

6. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość 6cm, a wysokość ściany bocznej ma długość 5cm. Oblicz pole powierzchni, objętość ostrosłupa i kąt nachylenia krawędzi ostrosłupa do podstawy.

7. Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 32j³ , a krawędź jego podstawy ma długość 4. Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa i kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy.

8. Piramidy budowane w Egipcie mają kształt ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego wszystkie ściany boczne są trójkątami prostokątnymi. Czy można zbudować piramidę, w której przyprostokątne tych trójkątów będą miały długość 50m? Jeśli tak, to podaj wysokość piramidy.

9. Pole powierzchni ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równe , a stosunek krawędzi podstawy a do wysokości ściany bocznej h jest równy 1: 2. Oblicz pole powierzchni bocznej figury.

10. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość 6, a wysokość ostrosłupa ma długość 5. Oblicz objętość i pole powierzchni ostrosłupa.

11. Podstawą ostrosłupa jest prostokąt o boku 8cm i przekątnej długości 10cm. Krawędzie boczne mają równe długości i są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątem 60°.
Oblicz objętość i pole powierzchni ostrosłupa.

12. Podstawą ostrosłupa jest romb o wysokości i kącie ostrym 60°. Stosunek wysokości ostrosłupa do dłuższej przekątnej podstawy jest równy 3 : 2. Oblicz objętość ostrosłupa.

13. Wyznacz miarę kąta między ścianą boczną i płaszczyzną podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego, jeżeli pole jego podstawy jest równe , a pole powierzchni bocznej ostrosłupa jest równe 12. Sporządź rysunek.

14. Długość wysokości ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa długości promienia okręgu opisanego na podstawie. Pole ściany bocznej jest równe Oblicz objętość i pole powierzchni ostrosłupa oraz cosinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.

15. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym wysokości przeciwległych ścian poprowadzone z wierzchołka ostrosłupa mają długości h i tworzą kat o mierze 2a. Oblicz objętość ostrosłupa.

16. Pole powierzchni całkowitej prawidłowego ostrosłupa trójkątnego równa się , a pole powierzchni bocznej . Oblicz objętość ostrosłupa.

...............................................................................................................................................................
TEMAT 5-6 BRYŁY OBROTOWE

1. Bryłą obrotową nazywamy figurę powstałą przez obrót figury płaskiej F o kąt 360° wokół prostej k, gdy figura F i prosta k leżą w tej samej płaszczyźnie. Prostą k nazywamy osią obrotu.

2. Walec - bryła obrotowa powstała przez obrót prostokąta dookoła prostej zawierającej jeden z boków prostokąta.
Bok prostokąta zawarty w osi obrotu jest wysokością walca, a drugi jest promieniem podstawy.
P_p = pr² , P_b = 2prh, P_c =2pr(r + h), V = pr²h
Przekrój osiowy walca to przekrój płaszczyzną zawierająca jego oś obrotu.
Przekrój poprzeczny walca to przekrój płaszczyzną równoległą do płaszczyzny podstawy.

3. Prostokąt o wymiarach 8cm i 6cm obraca się dookoła prostej zawierającej dłuższy bok.
Oblicz pole powierzchni i objętość powstałej bryły.

4. Prostokąt o wierzchołkach A = (1, 2), B = (5, 2), C = (5, 8), D = (1, 8) obraca się wokół osi rzędnych. Sporządź rysunek oraz oblicz pole powierzchni i objętość powstałej bryły.

5. Powierzchnia boczna walca obrotowego po rozwinięciu jest prostokątem, którego przekątna o długości 18cm tworzy z bokiem odpowiadającym wysokości walca kąt 60°. Oblicz objętość walca i pole powierzchni.

6. Przekrój osiowy walca jest prostokątem , którego obwód jest równy 56, a długości jego boków są w stosunku 3 : 4. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej walca.

7. Przekrój osiowy walca jest prostokątem o boku długości 8cm i przekątnej 10cm. Oblicz objętość i pole powierzchni walca.

8. Prostokąt o wierzchołkach A = (-4, -2), B = (2, -2), C = (2, 5), D = (-4, 5) obraca się wokół krótszego boku. Opisz objętość i pole powierzchni powstałej bryły. Sporządź rysunek.

9. Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu jest kwadratem o przekątnej długości cm.
Oblicz objętość i pole powierzchni i objętość walca. Obwód podstawy walca jest równy 24p cm,
a przekątna przekroju osiowego tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 60°. Oblicz pole powierzchni i objętość walca.

10. Wysokość walca jest o 6 jednostek większa od średnicy jego podstawy, a pole powierzchni całkowitej jest równe 378p. Oblicz objętość walca.

11. Stożek - bryła obrotowa powstała przez obrót trójkąta prostokątnego dookoła prostej zawierającej jedną z przyprostokątnych.

P_p = pr² , P_b = prl , P_c = pr (r + l),
Przekrój osiowy stożka to przekrój płaszczyzną zawierającą jego oś obrotu.
Przekrój poprzeczny stożka to przekrój płaszczyzną równoległa do jego podstawy.

12. Trójkąt prostokątny prostokątnych o przyprostokątnych 6 i 8 obraca się dookoła prostej zwierającej:
a) krótszą przyprostokątną , b) dłuższą przyprostokątną, c) przeciwprostokątną
Oblicz objętość i pole powierzchni powstałej bryły.

13. Trójkąt prostokątny o wierzchołkach A = (0, -4), B = (3, -4), C = (3, 0) obraca się wokół krótszej przyprostokątnej. Oblicz objętość i pole powierzchni powstałego stożka oraz kąt nachylenia tworzącej do jego podstawy.

14. Kwadrat o boku 20cm obraca się wokół prostej zawierającej przekątną. Oblicz objętość i pole powierzchni powstałej bryły. Wykonaj rysunek.

15. Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku 4cm. Oblicz objętość i pole powierzchni stożka.

16. Przekrój osiowy stożka jest trójkątem prostokątnym o wysokości cm. Oblicz pole powierzchni i objętość stożka.

17. Pole podstawy stożka jest równe 5p, a pole powierzchni bocznej 9p. Oblicz objętość stożka.

18. Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku 8cm. Oblicz objętość i pole powierzchni stożka.

19. Rozwinięcie powierzchni bocznej stożka to półkole o promieniu 6cm. Oblicz kąt rozwarcia stożka, jego objętość i pole powierzchni.

20. Trapez o wierzchołkach A = (0, -2), B = (2, -4), C = (2, 4), D = (0, 2) obraca się wokół krótszej podstawy. Oblicz objętość i pole powierzchni powstałej bryły. Wykonaj rysunek.

21. Pole powierzchni bocznej stożka jest równe polu podstawy, a promień podstawy ma długość 8cm. Oblicz objętość i pole powierzchni bryły oraz kąt nachylenia tworzącej do płaszczyzny podstawy.

22. Stożek i walec mają równe długości tworzących, równe pola powierzchni bocznych i równe objętości. Oblicz cosinus kąta nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny podstawy.

23. Kula - bryła obrotowa powstała przez obrót półkola dookoła prostej zawierające średnicę półkola

Sfera to powierzchnia kuli.
P_c = 4pr²

24. Objętość kuli jest równa 288p cm³. Oblicz promień kuli i pole powierzchni.

25. Pole powierzchni kuli jest równe 36p cm². Oblicz promień kuli i jej objętość.

26. Z drewnianej kostki sześciennej o krawędzi 8cm wytoczono kulkę o możliwie największym promieniu. Oblicz jaki procent stanowiły odpady.

27. Do menzurki o średnicy 6 cm wypełnionej częściowo wodą włożono metalową kulkę o promieniu 2cm. O ile centymetrów podniesie się poziom wody?

28. Stalowy prostopadłościan o krawędziach długości 2cm , 4cm i 6cm przetopiono na kuleczki o promieniu 1cm. Ile otrzymano kuleczek?

29. Metalową kulę o promieniu długości 10cm oraz stożek, w którym średnica i wysokość mają długości odpowiednio 16cm i 12cm, przetopiono. Następnie z otrzymanego metalu wykonano walec o średnicy Oblicz wysokość tego walca.

30. W stożek o kącie rozwarcia 60° wpisano kulę o promieniu długości 4. Oblicz pole powierzchni całkowitej stożka.

31. Ile centymetrów kwadratowych skory zużyto na uszycie piłki o średnicy 24cm? Dolicz 5% powierzchni skory na szwy. Przyjmij p = 3,14 i wynik podaj z dokładnością do 10cm².

32. Szklanka ma kształt walca o wysokości 10cm i promieniu podstawy 3cm. Do jakiej maksymalnie wysokości szklanki można nalać soku, aby można było jeszcze wrzucić trzy kulki lodu, o promieniu 1cm każda.

Kula o promieniu R i stożek maja równe objętości. Pole powierzchni bocznej stożka jest trzy razy większe niż pole jego podstawy. Wyznacz wysokość stożka.

TEMAT 7 Doświadczenia losowe i zbiór zdarzeń elementarnych

Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się badaniem prawidłowości, które rządzą zjawiskami przypadkowymi czyli losowymi.

Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, które może zakończyć się jednym z możliwych wyników w₁, w₂, w₃,..., w_n, ale nie wiadomo którym i przewidzenie tego jest praktycznie lub teoretycznie niemożliwe np. rzut kostką, monetą itp. Przewidywalna jest natomiast częstość wyników przy wielokrotnym powtórzeniu doświadczenia.

Częstość doświadczenia to iloraz liczby doświadczeń, które zakończyły się danym wynikiem przez ilość wszystkich doświadczeń.

Zdarzenie elementarne to pojęcie pierwotne rachunku prawdopodobieństwa, tak nazywamy każdy wynik doświadczenia losowego
W - przestrzeń zdarzeń elementarnych, zbiór zdarzeń elementarnych związanych z danym doświadczeniem W={w₁,w₂,w₃,w₄, ...,w_n}

moc zbioru W, ilość zdarzeń elementarnych, które sprzyjają W

Zdarzenie losowe - zdarzenie, to każdy podzbiór zbioru W, oznaczamy A, B, C.
Liczbę elementów skończonego zbioru A oznaczamy

Skonstruuj przestrzeń W ( wypisz zdarzenia elementarne i skonstruuj drzewko decyzyjne) dla doświadczeń:

a) rzut monetą

b) rzut kostką

b) rzut monetą i kostką

c) dwukrotny rzut monetą

d) dwukrotny rzut kostką

e) trzykrotny rzut monetą

f) wybór pełnego zestawu obiadowego, jeżeli mamy w stołówce dwa rodzaje zup z₁, z₂, trzy rodzaje
drugich dań d₁, d₂, d₃ i dwa rodzaje kompotów k₁, k₂.

czytamy sprzyja zajściu zdarzenia A , oznacz, że nie sprzyja B

Zdarzenie niemożliwe Æ – zdarzenie , któremu nie sprzyjają żadne zdarzenia elementarne .

Zdarzenie pewne W - zdarzenie , któremu sprzyjają wszystkie zdarzenia elementarne

Zdarzenie przeciwne do A oznaczamy A¢ - zdarzenie , któremu sprzyjają wszystkie zdarzenia elementarne nie sprzyjające zdarzeniu A , czyli A¢ = W \ A, AÇA`=Æ

Suma zdarzeń AÈB ,
to zdarzenie, któremu sprzyjają zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A lub B.

Iloczyn zdarzeń AÇB,
to zdarzenie, któremu sprzyjają zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A i B.

Różnica zdarzeń A \ B,
to zdarzenie, któremu sprzyjają zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A i nie sprzyjające B.

Zdarzenia rozłączne (wykluczające się) , to takie, których iloczyn jest zdarzeniem niemożliwym.

ĆWICZENIA

1. Rzucono sześcienną kostka do gry, a potem monetą. Ile jest wszystkich możliwych wyników tego doświadczenia? Ile jest zdarzeń polegających na tym, że na kostce wypadła parzysta liczba oczek, a na monecie orzeł?

2. Magda ma 4 różne spódniczki, 3 różne bluzeczki i 5 różnych par butów. Na ile sposobów może się ubrać, jeśli zestawienia kolorystyczne nie mają dla Magdy znaczenia?

3. Ile można utworzyć różnych liczb o niepowtarzających się cyfrach z cyfr 1, 2, 3, 4?

A. 32

B. 24

C. 64

D. inny wynik

4. Ile można utworzyć liczb pięciocyfrowych z cyfr 1, 2 i 3?

5. Ile można utworzyć liczb trzycyfrowych z cyfr 0, 1, 2, 3, 6, 8, w których

a) cyfry nie powtarzają się b) cyfry mogą się powtarzać.

6. Ile można utworzyć liczb czterocyfrowych parzystych?

7. W dwudziestoosobowej klasie zostanie wybrany samorząd złożony z trzech osób: przewodniczący, zastępca i skarbnik. Na ile sposobów można dokonać wyboru?

8. . Ile jest różnych liczb pięciocyfrowych parzystych ułożonych z cyfr 0, 2, 3, 5, 7?

A 55

B. 4 Ē 54

C. 53 Ē 23

D. 54 Ē 2

9. W czworościanie foremnym ściany oznaczono cyframi 0, 1, 2, 3. Rzucamy dwukrotnie i odczytujemy liczbę oczek na podstawie. Określ przestrzeń zdarzeń W i jej moc oraz zdarzenia:
A – suma oczek 3, B – suma mniejsza niż 2, C – iloczyn różny od zera, D - iloczyn równy 2,
AÈC, BÇC, A\D

10. Rzucamy kostką i monetą. Opisz przestrzeń W oraz zdarzenia:
A– wypadł orzeł i parzysta liczba oczek, B – wypadła reszka i liczba podzielna przez 3,
C – wypadły 4 oczka, D – wypadł orzeł i liczba oczek podzielna przez 7, E – wypadło mniej niż 7 oczek AÇB, AÈC, B\D, BÇC, E\A. Określ moc wszystkich zdarzeń.

11. .Rzucamy trzy razy monetą. Opisz przestrzeń W i zdarzenia: A- chociaż jeden orzeł, B – drugi to orzeł, C – chociaż dwie reszki, AÈB, AÇC, C\B, B\A, BÈC.

………………………………………………………………………………………………………….

TEMAT 8 KLASYCZNA I AKSJOMATYCZNA DEFINICJA PRAWDOPODOBIEŃSTWA
ORAZ JEGO WŁASNOŚCI.

1 DEFINICJA KLASYCZNA PRAWDOPODOBIEŃSTWA

Jeżeli przestrzeń W składa się z N zdarzeń elementarnych jednakowo możliwych i wśród nich jest n zdarzeń sprzyjających zajściu zdarzenia A, to liczbę nazywamy prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia A. .

2.DEFINICJA AKSJOMATYCZNA PRAWDOPODOBIEŃSTWA

Niech W będzie skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych. Prawdopodobieństwem nazywamy funkcję, która każdemu zdarzeniu A (AÌ W) przyporządkowuje liczbę P(A) spełniającą następujące warunki (aksjomaty):

1^o P(A) ³ 0    (prawdopodobieństwo jest liczbą nieujemną)
2^o P(W) =1    (prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego jest równe 1)
3^o AÇB=ÆÞP(AÈB) = P(A) + P(B)     (prawdopodobieństwo sumy zdarzeń wykluczających się jest
                                                                    równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń)

3. WŁASNOŚCI PRAWDOPODOBIEŃSTWA:

a) P(Æ) = 0 tzn. prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego jest równe zero,

b) P(A) + P(A¢) = 1 tzn. suma prawdopodobieństw zdarzenia danego i przeciwnego jest równa 1,

c) A Ì B Þ P(A) £ P(B)
d) P(AÈB) = P(A) + P(B) – P(AÇB) tzn. prawdopodobieństwo sumy zdarzeń jest równe sumie
prawdopodobieństw tych zdarzeń pomniejszonej o prawdopodobieństwo iloczynu tych zdarzeń.
ZADANIA

1. Z talii 32 kart (od „siódemki” do asów) wyciągnięto losowo kartę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wyciągnięta karta jest: a) kierem b) asem c) asem lub kierem d) asem kierowym.

2. Rzucamy dwa razy sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wypadła parzysta suma oczek lub iloczyn podzielny przez 5.

3. Sześciotomową encyklopedię ustawiono w sposób losowy na półce. Jakie jest prawdopodobieństwo, że

a) wszystkie tomy ustawiono kolejno od pierwszego do szóstego

b) tom 1. i 2. stoją obok siebie.

4. Rzucamy dwukrotnie sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń: A – na obu kostkach wypadła parzysta liczba oczek, B – suma oczek jest równa co najwyżej 9 oraz prawdopodobieństwa zdarzeń: a) b)

5. W pudełku jest 20 tranzystorów, w tym 4 wadliwe. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wyjęty tranzystor będzie: a) dobry, b) wadliwy

6. W skrzyni jest 30 detali I gatunku, 20 detali II gatunku i 5 detali wybrakowanych. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wzięty na chybił trafił detal jest I gatunku.

7. W klasie jest 30 uczniów, w tym 10 chłopców. Na lekcji historii był zapytany jeden uczeń. Jakie jest prawdopodobieństwo, że była to dziewczynka?

8. W urnie jest 5 kul białych, 4 czarne i 3 zielone. Losujemy jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli:
a) białej, b) czerwonej, c) zielonej, d) białej lub czarnej, e) białej lub zielonej lub czarnej

9. Rzucamy dwa razy kostką. Znajdź prawdopodobieństwo następujących zdarzeń:

a. suma wyrzuconych oczek jest równa 5

b. iloczyn oczek 12

c. suma oczek nie przekracza 4

d. na obu kostkach ta sama nieparzysta liczba oczek

e. suma oczek jest liczbą podzielną przez 5 lub iloczyn oczek jest mniejszy niż 10

10. Rzucamy trzy razy monetą. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń:

a. orzeł dokładnie dwa razy

b. orzeł co najmniej dwa razy

c. orzeł co najwyżej jeden raz

TEMAT 9 – 11 OBLICZANIE PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZDARZEŃ

1. W pudełku jest 25 lamp , w tym 5 wadliwych. Losujemy kolejno dwie lampy bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzeń:

a)obie lampy dobre , b) obie wadliwe, c) chociaż jedna dobra

2. Z talii 52 kart wybieramy dwie bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród wybranych znajdzie się: a) dokładnie jeden as, b) dwa asy, c) co najwyżej jeden as, d) przynajmniej jeden as

3. W urnie jest 5 kul białych i 7 czarnych. Losujemy dwie kule bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród wylosowanych:
a) obie kule białe, b) jedna kula biała, c) przynajmniej jedna kula czarna.

4. Osoby leworęczne stanowią 15% populacji ludzi. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń:
A – dwie kolejno spotkane osoby są leworęczne,
B – jedna spośród dwóch spotkanych osób jest leworęczna

5. Do pewnej firmy wysyłkowej klienci odsyłają 10% koszulek i 6% sweterków z liczby zamówionych jako wadliwe. Szymon kupił koszulkę i sweter. Narysuj drzewo i oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że Szymon:
a) odeśle obie rzeczy , b) odeśle koszulkę, ale nie odeśle sweterka

6. Ze zbioru cyfr {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) losujemy kolejno dwa razy po jednej cyfrze i zapisujemy je.
tworzymy liczbę dwucyfrową, gdzie cyfrą dziesiątek jest wynik pierwszego losowania, a cyfrą jedności drugi. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że otrzymana liczba dwucyfrowa jest podzielna przez 3, gdy losujemy cyfry : a) ze zwracaniem, b) bez zwracania

7. W urnie jest 10 kul białych i 15 czarnych. Losujemy trzy kule. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania: a) trzech kul białych, b) przynajmniej jednej białej, c) dwóch czarnych i jednej białej

8. Ze zbioru liczb {1, 2, 3, 4, 5, 6} losujemy kolejno bez zwracania dwie liczby.
Oblicz prawdopodobieństwo: a) zdarzenia A, że suma wylosowanych liczb jest większa od 8,
b) zdarzenia B, że za pierwszym razem wylosowano liczbę parzystą.

9. Z klasy liczącej 10 dziewcząt i 14 chłopców, wybieramy losowo trzyosobową delegację.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że w skład delegacji wejdą:
a) trzy dziewczynki, b) jedna dziewczyna i dwóch chłopców, c) co najmniej jeden chłopiec

10. Mamy dwie kostki do gry. Jedna jest prawidłowa, a druga ma na przeciwległych ścianach dwa, cztery i sześć oczek. Rzucamy losowo wybraną kostką . Wyrysuj drzewo.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wypadły dwa oczka.

11. W szkolnej stołówce na obiad oferuje się jako danie podstawowe do wyboru pierogi i gulasz, a na deser do wyboru kompot, owoce lub lody. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń:
A – uczeń wybrał gulasz i kompot, B – uczeń wybrał pierogi i nie wybrał owoców.

12. W pudelku jest 12 kawałków czekolady, w tym 5 kawałków czekolady mlecznej, 4 gorzkiej i 3 białej.
Wybieramy z pudelka 2 kawałki czekolady. Zilustruj przebieg doświadczenia drzewem i oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń: A – wybraliśmy 2 kawałki białej czekolady,
B – wybraliśmy co najmniej jeden kawałek czekolady gorzkiej.

13. W drodze do szkoły Jurek przechodzi przez trzy skrzyżowania, na których są światła sygnalizacyjne.
Prawdopodobieństwo, że musi zatrzymać się na pierwszym skrzyżowaniu jest równe 0,7,
na drugim 0,4, a na trzecim 0,8.Sporządź drzewo i oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń:
A – Jurek musi zatrzymać się na trzech skrzyżowaniach,
B – Jurek zatrzymał się tylko na jednym skrzyżowaniu.

14. W urnie jest 10 losów, wśród których jeden daje wygraną, dwa uprawniają do następnego losowania, a reszta to losy puste. Kupujemy jeden los i maksymalnie wykorzystujemy uprawnienia.
Oblicz prawdopodobieństwo wygranej.

15. z pojemnika, w którym jest 5 kul białych oznaczonych numerami od 1 do 5 i 6 kul czarnych oznaczonych numerami od 1 do 6 wybieramy jednoczesnie 4 kule. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że otrzymamy kule oznaczone liczbami, których iloczyn jest liczbą nieparzystą.

16. W pudełku znajdują się żetony. Wśród nich 6 żetonów o nominale 5zl oraz n o nominale 10zł. Losujemy 2 żetony. Prawdopodobieństwo, że są to żetony o nominale 10zł wynosi 0,5. Oblicz n.

17. Spośród cyfr 1, 2, 7, 8, 9 losujemy jedną, którą uznajemy za cyfrę dziesiątek, a następnie z pozostałych drugą, którą uznajemy za cyfrą jedności. Otrzymujemy w ten sposób liczbę dwucyfrową. Opisz przestrzeń W i oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń:
a) otrzymana liczba jest parzysta, b) liczba jest podzielna przez 3, c) liczba mniejsza niż 20

18. W wielokącie foremnym K losujemy dwa spośród jego wierzchołków. Prawdopodobieństwo, że łączący je odcinek nie jest bokiem wielokąta k wynosi . Jaki to wielokąt?

19. Rzucamy kostką do gry, na jej ściankach są liczby 1, 1, 2, 2, 3, 3. Liczba rzutów nie jest z góry określona. Wyrzucony wynik dodajemy do sumy poprzednich wyników. Jeżeli wypadnie 1 lub suma przekroczy 4, to grę przerywamy. Narysuj drzewo ilustrujące przebieg tego doświadczenia. Oblicz prawdopodobieństwo, że gra zakończy się wyrzuceniem 3.

20. Rzucamy sześcienną kostką do gry i krążkiem, na którego jednej stronie są dwa oczka, a na drugiej cztery oczka. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń :
A – suma oczek co najmniej 6, B – iloczyn oczek jest liczbą podzielną przez 4.

21. Zorganizowano dwie loterie. W pierwszej przygotowano 100losów, a w drugiej 200. W której loterii gracz kupujący jeden los ma większa szansę wygrania, jeżeli wiadomo, że w pierwszej loterii jest jeden los wygrywający i dwa uprawniające do dalszego losowania, a w drugiej są dwa losy wygrywające i jeden uprawniający do dalszego losowania.

22. Wśród n losów loterii jest 6 wygrywających. Dla jakiej wartości n prawdopodobieństwo tego, że zakupione dwa losy są wygrywające, jest większe niż 0,3?

23. Ze zbioru liczb {1,2,4,6} wybieramy dwie, za każdym razem zwracając liczbę do zbioru.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń:
A – suma wybranych liczb większa niż 8, B – iloczyn wybranych liczb jest większy niż 8.

24. Gracz ma do wyboru dwie gry. Pierwsza polega na równoczesnym rzucie symetryczną kostką sześcienną i dwiema monetami. Gracz wygra, gdy wyrzuci parzystą liczbę oczek i dwa orły.
W drugiej grze spośród 16 kul ponumerowanych liczbami 1, 2, 3, ... , 16, wśród których są
tylko 4 kule białe, losuje się bez zwracania 3 kule. Gracz wygra, gdy wśród wylosowanych
kul są dokładnie dwie kule białe
a) Opisz zbiór zdarzeń elementarnych dla każdej gry
b) Oblicz prawdopodobieństwo wygrania w grze pierwszej i w drugiej. Które jest większe?

TEMAT 12 ELEMENTY STATYSTYKI.

Statystyka to nauka zajmująca się badaniem zjawisk masowych.
Wyróżniamy statystykę opisową i matematyczną

Statystyka opisowa zajmuje się zagadnieniami związanymi z gromadzeniem i prezentacją danych oraz badaniem własności pobranych prób losowych.

Statystyka matematyczna zajmuje się modelami matematycznymi, które są używane do badania zjawisk masowych.
Przedmiotem badań w statystyce jest zbiorowość statystyczna zwana populacją.
Jednostki statystyczne to elementy danej zbiorowości.
Cecha statystyczna to własność, ze względu na którą prowadzimy badania statystyczne pewnej zbiorowości. Wśród tych cech rozróżniamy mierzalne i niemierzalne.
Prowadząc badania statystyczne pewnej zbiorowości wybieramy reprezentację jej podgrupy zwaną próbą.

1. Tabela przedstawia liczbę dziewcząt i chłopców w klasach czwartych.
Przedstaw te dane w postaci diagramu słupkowego.

	IV A	IV B	IVC	IVD
dziewczęta	15	20	10	25
chłopcy	15	10	20	5

2. Tabela przedstawia zestawienie ocen ucznia Nowaka i Kowalskiego w I semestrze.
a) Ile ocen wyższych niż dostateczny otrzymał w I semestrze uczeń Nowak?
b) O ile procent więcej ocen dostatecznych w I semestrze otrzymał Kowalski niż Nowak?

Przedstaw te dane w postaci diagramu kolumnowego.

Ocena	1	2	3	4	5
Nowak	-	2	4	4	2
Kowalski	-	1	3	5	3

3. Grupę 20 osób zapytano o zdanie na temat pewnego filmu. Wyniki ankiety: pasjonujący – 35%, ciekawy – 25%, przeciętny – 20%, nudny – 15%, nie mm zdania – 5%. Przedstaw je na diagramie słupkowym. i kołowym

4. Wyniki testu z matematyki przedstawia tabela.
Sporządź diagram kołowy i słupkowy wyników testu oraz oblicz procent uczniów, którzy uzyskali co najwyżej dopuszczający. Oblicz średnią ocenę z testu.

Ocena	celujący	bdb	dobry	dostateczny	dop	ndst
Liczba uczniów	1	4	5	10	7	3

5. Tabela przedstawia długość granicy Polski z krajami sąsiadującymi. Przedstaw te dane na diagramie kolumnowym i kołowym

z Rosją	z Litwą	z Białorusią	z Ukrainą	ze Słowacją	z Czechami	z Niemcami
232 km	103 km	416 km	529 km	541 km	790 km	489 km

..........................................................................................................................................................................

TEMAT 13 ŚREDNIA ARYTMETYCZNA, WAŻONA, MEDIANA, DOMINANTA

1.Średnia arytmetyczna

Średnią arytmetyczną liczb rzeczywistych x₁, x₂, ... , x_n nazywamy liczbę `x , którą określamy
wzorem .

        Częstością p_iwartości x_i cechy statystycznej nazywamy liczbę określoną wzorem   ,
         gdzie n_i to liczebność wartości x_i występowania w zbiorze danych badanej cechy, a n to liczebność
         próby , którą badamy.

1.      Średnia ważona
Średnią ważoną liczb rzeczywistych    x₁, x₂, x₃, ... , x_n   z odpowiadającymi im wagami
n₁, n₂, ... , n_n    określamy wzorem

2. Przykład.

Spójrzmy na oceny dwu uczniów i średnią arytmetyczną tych ocen:

Przedmiot	Ocena
Przedmiot	Adama	Mikołaja
Fizyka	5	5
Historia	4	4
Informatyka	4	4
Język polski	6	3
Matematyka	3	6
Średnia ocen	4,4	4,4

Zakładamy iż obydwaj starają się o przyjęcie na polonistykę, gdzie brane są pod uwagę oceny z języka polskiego(j) i historii(h). Co więcej do polskiego komisja przykłada trzykrotnie większą wagę niż do historii, obliczając średnią ważoną według wzoru:. Zatem Adam i Mikołaj otrzymaliby odpowiednio:

3. Brąz to stop miedzi z cyną, przy czym miedź stanowi 75%, a cyna 25%.

Napisz wzór opisujący wagę 1cm³brązu, jeśli 1cm³ cyny waży c gramów, a miedzi m gramów.
Oblicz wagę 1cm³brązu, jeśli c=7,29g, m=8,93g

4. Mediana m_e ( wartość środkowa)

            Przypuśćmy, że mamy zbiór danych liczbowych, uporządkowany według wielkości.
            Medianą nazywamy środkową z tych liczb albo średnią arytmetyczną   „środkowych wyrazów”,
            gdy liczba danych jest parzysta.

5. Przykład.

             Diagram obok przedstawia ocen semestralne
             z matematyki. Wyznacz medianę i średnią
           arytmetyczną tych ocen.

6. Dominanta ( moda) m_o czyli wynik pojawiający się najczęściej, najliczniej.

Przykład.

Modą zbioru {4,5,10,10} jest liczba 10, a modą zbioru {4,4,5,5,0} jest liczba 4, ale także liczba 5,
w zbiorze {1,2,3,4,5,6} nie można określić mody.

7. Zapytano 30 uczniów, ile razy byli w kinie w ubiegłym miesiącu. Diagram przedstawia ich odpowiedzi. Wyznacz średnią, medianę i dominantę.

8. Słuchacze na egzaminie końcowym z praktycznej nauki zawodu otrzymali oceny:
2, 3, 4, 5, 2, 5, 5, 6, 4, 4, 4, 5, 3, 3, 3, 6, 2, 4, 4.
a) oblicz średnią arytmetyczna ocen
b) sporządź tabelę liczebności i oblicz częstość występowania ocen
c) wyznacz medianę i dominantę

9. W pewnej klasie zapytano uczniów: ”Ile godzin poświęcasz na odrabianie lekcji?”
odpowiedzi były następujące: 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 2, 2, 2, 3, 3 ,2 , 3, 3, 2, 2, 1, 1.
a) sporządź diagram słupkowy
b) wykonaj tabelę liczebności i oblicz częstość występowania odpowiedzi
c) oblicz średnią arytmetyczną liczby godzin przeznaczonych na odrabianie lekcji,
wskaż medianę i dominantę

10. Zgodnie z regulaminem ocena końcowa z matematyki obliczana jest jako średnia ważona, przy czym bierzemy pod uwagę oceny
egzamin ustny                   - waga   3,    egzamin pisemny              - waga   3
praca kontrolna                  -   waga   1 ,   aktywność                          -   waga   1
                          przygotowanie do zajęć     -    waga   1
Tabela przedstawia oceny uczniów.

uczeń	Egzamin ustny	Egzamin pisemny	Praca kontr.	aktywność	przygotowanie
Dorota	4	3	6	4	4
Robert	4	2	5	3	4
Asia	3	1	4	3	3
Basia	2	2	3	3	2
Konrad	2	1	2	4	2

a) Oblicz średnie ważone dla każdego z nich.
b) oblicz średnią z egzaminu ustnego i pisemnego, wskaż medianę i dominantę

11. Grupę 45 osób zapytano : „Ile razy w ciągu minionego roku skorzystałeś z porady lekarza?”
Wyniki badań podano w tabeli.

Liczba porad	0	1	2	4	5	6	7	8	9	10
Liczba osób	12	3	5	3	7	5	3	4	4	3

a) oblicz średnią arytmetyczną porad lekarskich przypadających na jednego ankietowanego
    b) wyznacz dominantę liczby porad
    c) podaj medianę
    d) wykonaj diagram słupkowy

12. Rodzina wybiera się na wakacje. Rozpatrzyła cztery oferty biorąc pod uwagę koszt( z wagą 0,6), termin ( z wagą 0,1) i atrakcyjność ( waga 0,3), którym przyporządkowała punkty od 1 do 10. Wyniki zapisano w tabeli. Którą ofertę rodzina powinna wybrać?

	Koszt( waga 0,6)	Termin (waga 0,1)	Atrakcyjność (waga 0,3)
I oferta	8	2	6
II oferta	5	4	7
III oferta	6	3	6
IV oferta	4	6	8

13.

14. To samo małe opakowanie jogurtu owocowego i tego samego producenta, w dziesięciu różnych sklepach ma ceny:1,20zł, 1,10zł, 1,15zł, 1,10zł, 1,19zł, 1,09zł, 1,25zł, 1,10zł, 1,12zł, 1,10zł
a) oblicz średnią cenę jogurtu
b) podaj cenę środkową (medianę) i cenę modalną, z jaką te sklepy sprzedają jogurt
c) w ilu badanych sklepach cena jogurtu jest wyższa od modalnej?
d) podaj różnicę między ceną najwyższą i średnią

...............................................................................................................................................

TEMAT 14 WARIANCJA I ODCHYLENIE STANDARDOWE

1.Odchylenie przeciętne danych statystycznych
    Liczbę   x_i - `x nazywamy odchyleniem wartości x_i cechy statystycznej od średniej arytmetycznej`x.
   Odchylenie przeciętne zestawu danych statystycznych x₁, x₂, x₃, ... , x_n od ich średniej arytmetycznej`x
        to liczba                   .

Osoba	Asia				Bartek
Ocena	4	4	3	5	6	3	2	5
Odchylenie	0	0	-1	1	2	-1	-2	1
Odchylenie bezwzględne	0	0	1	1	2	1	2	1

W tabeli znajdują się oceny dwójki uczniów (średnia w obu przypadkach wynosi 4),
odchylenie tych ocen od średniej, np. 6 – 4 = 2, oraz odchylenie bezwzględne, czyli bez znaku. Z
Oblicz odchylenie przeciętne dla każdego z nich.

3.    Wariancją zestawu danych statystycznych   x₁, x₂, x₂, …,x_n   nazywamy średnią arytmetyczną
       kwadratów odchyleń od ich średniej arytmetycznej`x i oznaczamy symbolem s²(sigma kwadrat)
                                                     .
     Oblicz wariancję ocen Asi i Bartka

4.   Odchyleniem standardowym zestawu danych statystycznych      x₁, x₂, x₂, …,x_n
     od średniej arytmetycznej`x nazywamy liczbę s , równą pierwiastkowi kwadratowemu z wariancji s²
                                 .

5.Czterech pracowników zarabia po1000 zł, a ich szef 1500 zł. Oblicz średnią płacę, wariancję i odchylenie standardowe.

6. Tabela przedstawia dochody (w tysiącach złotych) w pewnej firmie w czterech kolejnych miesiącach.
Oblicz wariancję i odchylenie standardowe tych dochodów.

Miesiąc	VI	VII	VIII	IX
Dochód [tys. zł]	70	130	150	50

7. Tabela przedstawia oceny z języka niemieckiego trzech chłopców

Arek	4, 3, 3, 3, 3, 3, 2
Krzysiek	5, 5, 3, 3, 3, 2, 1
Wojtek	6, 4, 3, 3, 3, 1, 1,

    a) sporządź diagram liczebności ocen dla każdego z chłopców
    b) oblicz średnią arytmetyczną, medianę i dominantę zestawu ocen każdego z nich
    c) oblicz odchylenie przeciętne, wariancję i odchylenie standardowe

8. W tabeli zamieszczono wyniki ankiety na temat: „Ile książek przeczytałeś w ostatnim półroczu?”

Liczba przeczytanych książek	0	2	4	11
Liczba czytelników	3	4	5	1

a) sporządź diagram słupkowy
b) oblicz średnią liczbę książek na jednego czytelnika
c) oblicz wariancję i odchylenie standardowe

9. Pan Kowalski co miesiąc zapisywał w tabeli zużycie wody w domu
a) sporządź diagram słupkowy
b) oblicz średnie miesięczne zużycie wody w domu Kowalskich
c) oblicz odchylenie standardowe od średniej objętości zużytej wody z dokładnością do 0,1

10. W pewnej firmie pracownicy zostali zaszeregowani do trzech grup uposażeń.
Liczbę pracowników i płace w euro przedstawia tabela

Płace	400	480	540
Liczba pracowników	12	6	2

a)sporządź diagram słupkowy i wyznacz średnią płacę
b) oblicz z dokładnością do 0,1 wariancję i odchylenie standardowe miesięcznej płacy w tej firmie

11. W tabeli przedstawiono wyniki sondażu przeprowadzonego wśród maturzystów na temat liczby zadań maturalnych rozwiązywanych przez nich codziennie.

Liczba zadań	1	3	4	7	10
Liczba maturzystów	3	10	8	4	3

     a) przedstaw dane na diagramie słupkowym
     b) oblicz średnią liczbę zadań rozwiązywanych codziennie przez maturzystów
     c) oblicz odchylenie standardowe liczby zadań rozwiązywanych przez uczniów
     d) oblicz medianę liczby zadań

12. Tabela przedstawia liczbę punktów uzyskanych przez pięciu uczniów z trzech kolejnych sprawdzianów z matematyki w ciągu jednego semestru w danej klasie.
Z każdego ze sprawdzianów uczeń mógł uzyskać maksymalnie 25 punktów.

uczeń	pierwszy	drugi	trzeci	czwarty	piąty
Sprawdzian 1	12	17	21	21	17
Sprawdzian 2	23	14	19	20	11
Sprawdzian 3	13	12	15	23	15

    a) Oblicz medianę liczby punktów uzyskanych przez tych pięciu uczniów na sprawdzianie pierwszym
    b) Oblicz średnią liczbę punktów uzyskanych przez tych pięciu uczniów na sprawdzianie drugim
    c) Oblicz wariancje wyników tych pięciu uczniów ze sprawdzianu drugiego
    d) Oblicz odchylenie standardowe wyników tych pięciu uczniów ze sprawdzianu drugiego.
    e) Nauczyciel matematyki, na początku semestru poinformował uczniów w tej klasie, że jednym
        z warunków do wystawienia stopnia dobrego za semestr, będzie uzyskanie z tych trzech
        sprawdzianów w sumie minimum 60% punktów, spośród możliwych do uzyskania.
        Którzy uczniowie spełnili ten warunek?

13. W pięciu różnych księgarniach ceny tej samej książki były następujące:
21,5zł, 20,0zł, 21, 0zł, 22, 0zł, 22,4zł. Oblicz: a) średnią cenę książki,
b) wariancję od średniej ceny książki, c) odchylenie standardowe od średniej ceny książki